代码收藏家技术教程 2024-02-04

复数概念及运算详解（复变函数）

1. 复数 z= Re(z)+Im(z) i =x+yi (虚数单位 i, $i^{2}=-1$ )

2.复数的代数运算（加减乘除）

$z_{1}\pm z_{2}=(x_{1}\pm x_{2})+ (y_{1}\pm y_{2})i$

$z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}+y_{1} i)(x_{2}+y_{2}i)=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+x_{1}y_{2})i$

$z_{1}\div z_{2}=\frac{z_{1}\overline{z_{2}}}{z_{2}\overline{z_{2}}}=\frac{(x_{1}+y_{1}i)\(x_{2}-y_{2}i)}{(x_{2}+y_{2}i)(x_{2}-y_{2}i)}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+\frac{(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})i}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$

3.共轭复数的性质（加减乘除）

（1) $\overline{z_{1}\pm z_{2}}=\overline{z_{1}}\pm \overline{z_{2}}$

$\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}$

$\overline{(\frac{z_{1}}{z_{2}})}=\overline{\frac{z_{1}}{\overline{z_{2}}}}$

（2） $z+\overline{z}=2Re(z)$

$z-\overline{z}=2Im(z)$

$z\cdot \overline{z}=\left [ Re(z) \right ]^{2}+\left [ Im(z) \right ]^{2}$

$\frac{z}{\overline{z}}=cos(2Arg z)+sin(2Arg z )$

4.复数的几何表示

复平面 z=x+iy $\leftrightarrow$ P(x,y)

复数的模 $\left | z \right |$ ，复数的辐角 Argz，辐角主值argz

复数的幅角：以x轴的正向为始边，以向量 $\overrightarrow{OP}$ 为终边的角 $\theta$

复数的辐角主值：满足 $-\pi <0\leqslant \pi$ 的复数z的辐角

5.复数的三角表示： $z=r(cos\theta +isin\theta )$

6.复数的指数表示： $z=re^{i\theta }$ (由欧拉公式 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$ )

7.复数的乘除:两复数相乘（除），等于向量长度相乘（除），辐角相加(减）。

（1）简写： $z_{1}$ ❈ $z_{2}=(r_{1}$ ❈ $r_{2})\cdot \left [ cos(\theta _{1}\pm \theta _{2}) +isin((\theta _{1}\pm \theta _{2})\right ]$

（其中 $\pm$ 意为加减运算，❈意为乘除运算）

（2）详细：记 $z_{1}=r_{1}(cos\theta_{1} +isin\theta _{1})=r_{1}e^{i\theta_{1} }$ ， $z_{2}=r_{2}(cos\theta_{2} +isin\theta _{2})=r_{2}e^{i\theta_{2} }$ ，则

① $z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left [ cos(\theta _{1}+\theta _{2}) +isin((\theta _{1}+\theta _{2})\right ]$

即 $\left | z_{1}z_{2} \right |=r_{1}r_{2}=\left | z_{1} \right |\left | z_{2}\right |$ , $Arg(z_{1}\cdot z_{2})=Argz_{1}+Arg z_{2}$

② $\frac{z_{1} }{z_{2}}=\frac{r_{1} }{r_{2}}\left [ cos(\theta _{1}-\theta _{2}) +isin((\theta _{1}-\theta _{2})\right ]$

即 $\left | \frac{z_{1} }{z_{2}} \right |=\frac{r_{1} }{r_{2}}=\frac{\left | z_{1} \right |}{\left | z_{2} \right |}$ , $Arg(\frac{z_{1} }{z_{2}})=Arg z_{1}-Arg z_{2}$