目录

1.卡尔曼滤波入门

2.学卡尔曼滤波的必备知识

2.1.状态空间表达式

2.2.高斯分布

2.3.方差

2.4.超参数

2.5.卡尔曼直观图解

3.卡尔曼滤波

3.1.卡尔曼公式理解

3.2.调节超参数

3.2.1.Q和R的取值

3.2.2.P0和X0的取值

3.2.3.卡尔曼滤波的使用


1.卡尔曼滤波入门

卡尔曼滤波的引入:

滤波就是将测量得到的波形中的的噪声过滤掉,使得到的数据更趋于真实情况,也更加平滑,方便使用。如下图所示(红色曲线是测量直接得到的波形,紫色曲线是滤波后得到的平滑曲线)

卡尔曼滤波适用的系统:

卡尔曼滤波适用线性高斯系统

1.线性系统:满足叠加性齐次性

叠加性:

齐次性: 

2.高斯系统

高斯:噪声满足正态分布

宏观意义:

滤波即加权

理想状态:信号\times1+噪声\times0

卡尔曼滤波:估计值\times估计值权重+观测值\times观测值权重


2.学卡尔曼滤波的必备知识

2.1.状态空间表达式

x_{k}:当前状态的值;

x_{k-1}:上一个时刻该状态的值;

u_{k}:输入,即给到x_{k}的一个输入;

w_{k}:过程噪声

A:状态转移矩阵,代表当前状态上一时刻的值乘上A这种关系,作用在该系统

B:控制矩阵,输入乘上B这种关系,作用在该系统

举例:一辆小车以速度v在路上行驶,迎面而来的风速v1

 

 那么状态方程与该情形对应关系如下

x_{k}:当前状态的值;

C:x_{k}乘上某种关系得到要观测的值

V_{k}:观测噪声,和观测器的误差有关

举例:火炉对水加温,蓝色点是水温的状态值,红色的点是温度计,温度计是一个传感器得到观测值

 那么状态方程和观测方程与该情形对应关系如下

 方框图表示如下所示

2.2.高斯分布

高斯分布直观图解:

二维中,所有值投影到x轴或y轴,都是正态分布

高斯分布参数分析:

 w_{k}是过程噪声,符合正太分布,均值为0,方差为Q_{k}

 V_{k}是观测噪声,符合正太分布,均值为0,方差为R_{k}

 统称w_{k}V_{k}为高斯白噪声

举例1:GPS检测到小车的位置,检测到小车开了1000米,但是GPS有精度误差,因此要加上\delta米的噪声,该噪声就是观测误差,V_{k}=\delta。因为\delta是服从正态分布的,假设其方差为1,则此时R_{k}=1

 

 举例2:有一个滑板,滑板前进的速度是5m/s,由于风的作用,因此滑板的速度有一个噪声\delta,此时滑板的速度为v+\delta,那么w_{k}=\delta\delta是符合正太分布的,假设\delta \in N(0,1),则Q_{k}=1

2.3.方差

一维方差:

(1)噪声的方差:前面的Q_{k}R_{k}

(2)状态的方差:后面会提到状态估计值\hat{x}_{t}^{-}的方差,

举例:小车实际跑了10米,但是由于噪声的影响,小车跑的距离是一个范围,服从正太分布,此时小车跑的距离就是10+w_{k}(噪声),该距离符合正态分布,因此小车跑的距离本身也会有一个方差。

二维协方差:cov(x,y)

一维的状态估计值\hat{x}_{t}^{-}为一个值;

二维的\hat{x}_{t}^{-}就是一个矢量,有两个不同的状态,如下图所示。这两个不同的状态同时对应着不同的噪声。

 

对于二维的\hat{x}_{t}^{-},其协方差就为

多维协方差矩阵C:

2.4.超参数

实验中,需要自己调来提高系统性能的参数:

卡尔曼滤波器中:Q(过程噪声的方差)  R(观测噪声的方差)

PID控制器中:P  I  D

2.5.卡尔曼直观图解

横轴为车的位置,竖轴为概率密度。

\hat{x}_{k}:状态量旁边没有横杠就是最优估计值(修正值、后验估计值)

\hat{x}_{k}^{-}:状态量旁边有横杠就是预测值(先验估计值)

y_{k}:观测值,也就是传感器直接测量得到的值

图解:

(1)\hat{x}_{k-1}

\hat{x}_{k-1}是上一时刻的最优估计值,也就是上一时刻卡尔曼滤波最终输出的值

(2)\hat{x}_{k}^{-}y_{k}

\hat{x}_{k}^{-}是基于上一时刻最优估计值\hat{x}_{k-1}估计出来的当前时刻的预测值

y_{k}是当前时刻的观测值

(3)\hat{x}_{k}

\hat{x}_{k}是当前时刻的最优估计值,通过当前时刻预测值\hat{x}_{k}^{-}和当前时刻观测值y_{k}推出,上图可以看出\hat{x}_{k}方差比较小,是因为经过卡尔曼滤波后,最终推出的\hat{x}_{k}效果较好


3.卡尔曼滤波

3.1.卡尔曼公式理解

实现过程:使用上一时刻的最优结果预测这一时刻的预测值,同时使用这一时刻观测值(传感器测得的数据)修正这一时刻预测值,得到这一时刻的最优结果

注:当状态值是一维的时候,H和I可以看作是1

预测:

1.上一时刻的最优估计值,推出这一时刻的预测值:

2.上一时刻最优估计值方差/协方差和超参数Q推出这一时刻预测值方差/协方差

深入理解,Q其实对应的是过程噪声的方差

更新:

1.这一时刻预测值方差/协方差和超参数R推出卡尔曼增益K_{t}

K_{t}为卡尔曼增益

因为P_{t}^{-}是和Q有关的,所以将P_{t}^{-}的公式带入可以推出卡尔曼增益K_{t}是和Q和R都有关的

深入理解,R其实对应的是观测噪声的方差

2.这一时刻预测值、这一时刻观测值、卡尔曼增益推出这一时刻最优估计值

Z_{t}为这一时刻观测值

3.这一时刻预测值方差/协方差、卡尔曼增益推出这一时刻最优估计值方差/协方差

举例:

小车有两个状态值,p代表位置,v代表速度。小车处于匀加速直线运动

预测模型:

1.上一时刻的最优估计值,推出这一时刻的预测值:

2.上一时刻最优估计值方差/协方差和超参数Q推出这一时刻预测值方差/协方差

 

推导:

因为

 所以

其实第一步中这一时刻预测值后面应该还有一个过程噪声Wt要加上(前面省略了),如下图所示,这里面Q是前面省略的过程噪声Wt的方差

测量模型:

GPS测量只能测量小车的位置,不能测量小车的速度,所以

Zp是小车此时的真实位置

Zv是小车此时的真实速度

Pt是测量得到的小车此时的位置

\DeltaPt是GPS测量位置的误差

更新模型:

1.这一时刻预测值方差/协方差和超参数R推出卡尔曼增益K_{t}

前面测量模型中,因为无法测速度,测量相当于是一维的,一维时H看作为1

2.这一时刻预测值、这一时刻观测值、卡尔曼增益推出这一时刻最优估计值

3.这一时刻预测值方差/协方差、卡尔曼增益推出这一时刻最优估计值方差/协方差

预测更新循环往复,就能得到每一时刻的最优估计值

3.2.调节超参数

3.2.1.Q和R的取值

当F=1且一维的情况H=1,那么

 再结合这一时刻最优估计值的公式,如下:

可以得出:

当我们更信任观测值时,那么应该让卡尔曼增益K增大;从K的公式中可以看出,R越小K越大,Q越大K越大

当我们更信任模型估计值时,那么应该让卡尔曼增益K减小;从K的公式中可以看出,R越大K越小,Q越小K越小

结论:

当我们更信任模型估计值时(模型估计基本没有误差),那么应该让K小一点,我们应该将R取大一点Q取小一点

当我们更信任观测值时(模型估计误差较大),那么应该让K大一点,我们应该将R取小一点Q取大一点

3.2.2.P0和X0的取值

P_{0}\hat{x}_{0}的取值其实是比较随意的,因为经过后面几轮迭代后,就会很快趋于稳定值

3.2.3.卡尔曼滤波的使用

来源:随风张幔

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