学习数模美赛必备算法——熵权法原理及Matlab Python双语言代码演示

一、模型引出

1、问题的提出

根据前几篇文章我们知道，评价决策类的模型最后需要根据各个指标的重要程度进行加权，而之前的层次分析法和TOPSIS法的权重都是我们主观得到的，那有没有更为客观的方法呢？那我们接着引入之前的例题。

二、基本原理

 1、基本概念

这里呢我们引入信息熵的概念，如果大家学过物理，就会知道熵代表着系统的紊乱程度，那如果按照信息论基本原理的解释，信息就是系统有序程度的度量，而熵呢是系统无序程度的度量，我们可以用熵值来判断某个指标的离散程度，那这个离散程度越大，就代表着信息熵值越小，那指标对于综合评价的影响也就越大，熵权法呢是一种非常客观的赋权方法，它可以靠数据本身来得出权重，那根据题目给出的既定的数据来判断权重，它依据的原理呢就是指标的变异程度越小，反应的信息量也就越少，对应的权值呢也就越低。

2、基本步骤

 这个基本步骤还是比较简单的，第一步就是标准化，用每个指标除以这个指标所在列的平方和，当然这个列是代表着同一指标的数据。第二步是计算概率矩阵P，就是计算同一指标中某一样本所占的比重，说明白一点就是归一化，就是让指标除以它所在列的和。最后一步是计算熵权，那这里是熵权的公式有三个值，一个是ej，一个是dj，还有个wj，那接下来呢我们结合例题来看一下。

三、典型例题

这里呢，我们还是利用之前帮k哥选对象的例题，在之前的TOPSIS法中呢，我们已经得到了正向化矩阵，下一步就是进行正向化矩阵标准化，标准化就是用每个值除以它所在列的这些值的一个平方和，之后在开方。如果指标中有负数，就是指标值减去最小值除以最大值减最小值，下一步就要计算概率矩阵P了，概率矩阵P就是归一化，我们用每一个指标值除以所在列的和，那样就会得到一个0~1的数字，并且呢所有候选人这个数字加起来值是唯一的，最后我们计算熵权。（详细计算步骤请关注b站数模加油站)

四、相关代码 

1、Matlab代码

 （1）主代码

%% 1.对正向化后的矩阵进行标准化
% X=[9 0 0 0 ;8 3 0.9 0.5;6 7 0.2 1]
clear,clc;
X=input('指标矩阵X='); 
[n,m] = size(X);
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)


%% 2.计算熵权
  
    D = zeros(1,m);  % 初始化保存信息效用值的行向量
    for i = 1:m
        x = Z(:,i);  % 取出第i列的指标
        p = x / sum(x);
        % 注意，p有可能为0，此时计算ln(p)*p时，Matlab会返回NaN，所以这里我们自己定义一个函数
        e = -sum(p .* mylog(p)) / log(n); % 计算信息熵
        D(i) = 1- e; % 计算信息效用值
    end
    W = D ./ sum(D);  % 将信息效用值归一化，得到权重    
disp('权重 W = ')
disp(W)

（2）函数代码 

% 重新定义一个mylog函数，当输入的p中元素为0时，返回0
function [lnp] =  mylog(p)
n = length(p);   % 向量的长度
lnp = zeros(n,1);   % 初始化最后的结果
    for i = 1:n   % 开始循环
        if p(i) == 0   % 如果第i个元素为0
            lnp(i) = 0;  % 那么返回的第i个结果也为0
        else
            lnp(i) = log(p(i));  
        end
    end
end



% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中

 2、Python代码

import numpy as np  # 导入numpy库，并简称为np

# 定义一个自定义的对数函数mylog，用于处理输入数组中的零元素
def mylog(p):
    n = len(p)  # 获取输入向量p的长度
    lnp = np.zeros(n)  # 创建一个长度为n，元素都为0的新数组lnp
    for i in range(n):  # 对向量p的每一个元素进行循环
        if p[i] == 0:  # 如果当前元素的值为0
            lnp[i] = 0  # 则在lnp中对应位置也设置为0，因为log(0)是未定义的，这里我们规定为0
        else:
            lnp[i] = np.log(p[i])  # 如果p[i]不为0，则计算其自然对数并赋值给lnp的对应位置
    return lnp  # 返回计算后的对数数组

# 定义一个指标矩阵X
X = np.array([[9, 0, 0, 0], [8, 3, 0.9, 0.5], [6, 7, 0.2, 1]])

# 对矩阵X进行标准化处理，得到标准化矩阵Z
Z = X / np.sqrt(np.sum(X*X, axis=0))

print("标准化矩阵 Z = ")
print(Z)  # 打印标准化矩阵Z

# 计算熵权所需的变量和矩阵初始化
n, m = Z.shape  # 获取标准化矩阵Z的行数和列数
D = np.zeros(m)  # 初始化一个长度为m的数组D，用于保存每个指标的信息效用值

# 计算每个指标的信息效用值
for i in range(m):  # 遍历Z的每一列
    x = Z[:, i]  # 获取Z的第i列，即第i个指标的所有数据
    p = x / np.sum(x)  # 对第i个指标的数据进行归一化处理，得到概率分布p
    # 使用自定义的mylog函数计算p的对数。需要注意的是，如果p中含有0，直接使用np.log会得到-inf，这里使用自定义函数避免这个问题
    e = -np.sum(p * mylog(p)) / np.log(n)  # 根据熵的定义计算第i个指标的信息熵e
    D[i] = 1 - e  # 根据信息效用值的定义计算D[i]

# 根据信息效用值计算各指标的权重
W = D / np.sum(D)  # 将信息效用值D归一化，得到各指标的权重W

print("权重 W = ")
print(W)  # 打印得到的权重数组W

作者：数模加油站