Python中cvxpy包的优化函数详解：直观展示与实践

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介绍

它是一个基于 Python 的凸优化建模工具，专门用于定义和求解 凸优化问题（Convex Optimization Problems）。CVXPY 提供了一种直观的方式来表达优化问题，并通过高效的求解器来解决这些问题。
CVXPY 的设计灵感来源于 MATLAB 的凸优化工具包 CVX，但它是专门为 Python 开发的，具有更强的灵活性和扩展性。

使用步骤

CVXPY 的核心是以下几个步骤：

1. 变量类型
标量变量：x = cp.Variable()
向量变量：x = cp.Variable(n)
矩阵变量：X = cp.Variable((m, n))
带约束的变量：x = cp.Variable(nonneg=True)（非负变量）

2.目标函数
最大化：cp.Maximize(expression)
最小化：cp.Minimize(expression)

3.约束条件
使用 Python 的逻辑表达式定义，例如：x + y <= 4，x >= 0。

4.求解器

默认情况下，CVXPY 会自动选择合适的求解器。
可以指定求解器，例如：problem.solve(solver=cp.SCS)。
常用求解器包括：

5. 高级功能

示例1

import cvxpy as cp  

# 定义变量  
x = cp.Variable()  
y = cp.Variable()  

# 定义目标函数  
objective = cp.Maximize(3 * x + 2 * y)  

# 定义约束条件  
constraints = [  
    x + y <= 4,  
    x - y >= 1,  
    x >= 0,  
    y >= 0  
]  

# 定义优化问题  
problem = cp.Problem(objective, constraints)  

# 求解问题  
result = problem.solve()  

# 输出结果  
print("Optimal value:", result)  
print("Optimal x:", x.value)  
print("Optimal y:", y.value)
#Optimal value: 11.999999998820272
#Optimal x: 4.0000000000334826
#Optimal y: -6.400876322454488e-10

示例2

import cvxpy as cp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Problem data.
n = 15
m = 10
np.random.seed(1)
A = np.random.randn(n, m)
b = np.random.randn(n)
# gamma must be nonnegative due to DCP rules.
gamma = cp.Parameter(nonneg=True)

# Construct the problem.
x = cp.Variable(m)
error = cp.sum_squares(A @ x - b)
obj = cp.Minimize(error + gamma*cp.norm(x, 1))
prob = cp.Problem(obj)

# Construct a trade-off curve of ||Ax-b||^2 vs. ||x||_1
sq_penalty = []
l1_penalty = []
x_values = []
gamma_vals = np.logspace(-4, 6)
for val in gamma_vals:
    gamma.value = val
    prob.solve()
    # Use expr.value to get the numerical value of
    # an expression in the problem.
    sq_penalty.append(error.value)
    l1_penalty.append(cp.norm(x, 1).value)
    x_values.append(x.value)

plt.rc('text', usetex=True)
plt.rc('font', family='serif')
plt.figure(figsize=(6,10))

# Plot trade-off curve.
plt.subplot(211)
plt.plot(l1_penalty, sq_penalty)
plt.xlabel(r'$\|x\|_1$', fontsize=16)
plt.ylabel(r'$\|Ax-b\|^2$', fontsize=16)
plt.title('Trade-Off Curve for LASSO', fontsize=16)

# Plot entries of x vs. gamma.
plt.subplot(212)
for i in range(m):
    plt.plot(gamma_vals, [xi[i] for xi in x_values])
plt.xlabel(r'$\gamma$', fontsize=16)
plt.ylabel(r'$x_{i}$', fontsize=16)
plt.xscale('log')
plt.title(r'Entries of x vs. $\gamma$', fontsize=16)

plt.tight_layout()
plt.show()

官方文档

https://www.cvxpy.org/

作者：zoujiahui_2018