代码收藏家 Python求解微分方程的实用方法与技巧
待求解方程如下， 希望得到微分方程的解析解，并使用初始条件 w(0)=w0 来得到特解。
t, lambda_, eta, V, tau 和 C 是方程中的符号，w(t) 是我们要求解的函数
方程被重写为标准形式：
使用dsolve求解：dsolve是 SymPy 提供的用于求解常微分方程的函数，返回的解包含了常数 CCC 和所有的符号参数。
import sympy as sp
# 定义符号
t, lambda_, eta, V, tau, C1, w0 = sp.symbols('t lambda eta V tau C1 w0')
w = sp.Function('w')(t)
# 定义微分方程
lhs = w.diff(t) + w / tau
rhs = lambda_ * sp.sinh(eta * V)
# 解微分方程
solution = sp.dsolve(lhs - rhs, w)
# 获取解的右侧表达式
general_solution = solution.rhs # 获取右侧解表达式
print("General solution:", general_solution)
# 自定义赋值参数
lambda_value = 0.1
eta_value = 4
V_value = 1.6
tau_value = 1
w0_value = 0 # 初始条件 w(0) = w0
# 使用初始条件 w(0) = w0，求解常数 C1
# 通过将 t = 0 代入解并设置为 w0
initial_condition = general_solution.subs(t, 0) - w0_value # 代入 t=0 时，w(0) 应该为 w0_value
C1_value = sp.solve(initial_condition, C1) # 求解常数 C1
# 如果 C1_value 非空，则代入并输出特解
if C1_value:
# 将常数 C1 代入解中，并为每个符号参数赋值
particular_solution = general_solution.subs({C1: C1_value[0], lambda_: lambda_value, eta: eta_value, V: V_value, tau: tau_value})
print("Particular solution with initial condition w(0) = w0:", particular_solution)
else:
print("No solution found for the given initial condition.")
目标：
我们的目标是求解以下微分方程，并使用初始条件 w(0)=w0来得到特解。
代码逻辑的处理：
-
定义符号：
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t, lambda_, eta, V, tau, C, w0定义了微分方程中的符号变量。 -
w = sp.Function('w')(t)定义了 w(t)作为时间的函数。 -
微分方程：
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微分方程被分解为两部分：左边是
，右边是
。
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lhs和rhs分别表示方程的左边和右边。 -
求解微分方程：
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使用
sp.dsolve(lhs - rhs, w)来求解微分方程，solution返回的是方程的通解（包含常数）。 -
获取解的右侧表达式：
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使用
solution.rhs来提取出解的右侧表达式。 -
自定义赋值参数：
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使用实际值为符号变量赋值（例如：
lambda_value = 0.1,eta_value = 4,V_value = 1.6,tau_value = 1）。 -
使用初始条件：
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初始条件是 w(0)=w0，因此通过
general_solution.subs(t, 0)将 t=0t = 0t=0 代入通解，并设置为 w0。 -
initial_condition = general_solution.subs(t, 0) - w0_value表示代入初始条件后，左边与 w0 的差值。 -
求解常数 C：
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使用
sp.solve(initial_condition, C)来求解常数 C，即常数 CC与初始条件的关系。 -
代入常数并输出特解：
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如果 C有解（即
C_value非空），则将常数 C 代入通解，并用实际值替换符号变量，得到特解。 -
particular_solution = general_solution.subs({C: C_value[0], lambda_: lambda_value, eta: eta_value, V: V_value, tau: tau_value})用来将常数和参数代入解中，得到特解。 -
如果没有解：
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如果没有找到常数 C，则输出
"No solution found for the given initial condition."。
运行代码输出结果为：
General solution: C1*exp(-t/tau) + lambda*tau*sinh(V*eta)
Particular solution with initial condition w(0) = w0: 30.0921688157405 - 30.0921688157405*exp(-t)通解：会首先输出通解，包含常数 C1。
特解：根据给定的初始条件 w(0)=w0，会输出特解
作者：ICscholar
