【时序列】时序列数据如何一步步分解成趋势(trend)季节性(seasonality)和误差(residual)- 详细理解python sm.tsa.seasonal_decompose

【时序列】时序列数据如何一步步分解成趋势(trend)季节性(seasonality)和误差(residual)- 理解python sm.tsa.seasonal_decompose

在做时序列分析的时候,好多教程都告诉你要把时序列分解成趋势,季节性,残差,然后画图看一下有没有趋势变化,有没有季节性。像这样:

import statsmodels.api as sm
decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(train['Count'] ,model='addictive', period=7)
decomposition.plot()


相信大家都很熟悉python的这个包和命令,但是具体是如何分解的却不是特别清楚。今天就来详细理解一下一个时序列是如何一步一步被分解的。

举个例子理解概念

首先我们默认每个时序列在某个时间点i的数值,都可以分解成三部分,分别是趋势,季节性和残差,以此来解释时序列的变化。

比如,某列车2021年2月的总乘客人数1000人,这1000人如何理解,为什么是1000人?
2018年2月还是100人,2021年1月还是300人,为啥到2021年2月就1000人了?

首先,可能因为列车开通后乘车人数有逐年上升的趋势,每年增加100人,2018年到2021年的3年之间增加了300人,只考虑趋势原因的话2021年2月应该是:100+300=400人

然后,和2021年1月分相比,2021年2月是春节,每年的2月乘客都1月多200人,只考虑春节这个季节性原因的话2021年2月应该是:300+200=500人

把季节性和趋势原因都考虑进去应该是:400+500=900人,但2021年2月是1000人,剩下的100人如何解释呢?暂时解释不了, 我们就把它作为残差(误差)

理解了例子公式就简单了

就是下面这个公式:
y_i = t_i + s_i + n_i

y_i :在i时间点的数值(乘客人数,销量等等)
t_i :在i时间点的趋势
s_i :在i时间点的季节性
n_i:在i时间点的残差

当然在上面这个例子里,我们假设这个y(乘客人数),是线性增长的,所以我们用加法把每个要素加起来,来解释y的变化。
如果y不是线性增长,而是比如指数增长的,那就不能用加法,需要用乘法,即:
y_i = t_i * s_i * n_i

decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(train[‘Count’], model=‘addictive’, period=7)

那么,上面这句代码里的model就应该从‘addictive’, 改成‘multiplicative’

一步步分解趋势,季节性,残差

所以趋势,季节性,残差都是咋分出来的呢。计算方法貌似有很多,我们理解一个最基本的。
五步走:
1: 确定季节性变化的期间
2: 分离 趋势
3: 分离 季节性+残差
4: 分离 季节性
5: 分离 残差

1: 确定季节变化的期间

这个期间就是decompose命令里面的period。看一下你的数据图。我手头的数据是日次的,看起来以周为单位有一个先升高再下降的循环。所以我把period定为7(7天的意思)

2: 分离 趋势

7这个期间定好之后,我们用移动平均的方法分离趋势。为了方便解释,我都用excel做示例。

计算的时候,以7的中心为开始计算移动平均。所以时序列最开始的3个三个数和最后的3个数是没有值的。
个人理解,如果季节性以周次出现,那么以7为单位计算的时候,比如每周六日数值都很高,这个因素就每个cycle(周)里面都有,平均下来的数值,就可以看作是摒弃了季节性的趋势的影响。

可以看到计算结果和python的decompose是一样的

3: 分离 季节性+残差

分离好趋势之后,如果你选的是model=‘addictive’,根据公式y_i = t_i + s_i + n_i, 我们只要用数值减去趋势那部分,就能得到季节性+残差的部分了。如果是multiplicative,那就是除以趋势。
结果如下,季节性+残差4,5: 分离 季节性 残差
接下来就从季节性+残差里面把季节性分出来。比如,如果时序列是周次季节性,那么周一的数值,就减去所有周一的数值的平均,周二的数值就减去所有周二的平均,以此类推,剩下的就是残差了。当然这只举了一个分离季节性的超简单逻辑。python里面decompose貌似用了更复杂的计算方法来计算季节性,由于篇幅过大暂且省略。

验证以下python的结果

看一下用python的seasonal_decompose算完,季节性,趋势,残差,加起来是不是真的等于原来的数值。
代码如下

decomposition = sm.tsa.seasonal_decompose(train['Count'],model='addictive', period=7) #Additive

trend = decomposition.trend
seasonal = decomposition.seasonal 
residual = decomposition.resid

train['trend']=trend
train['seasonal']= seasonal
train['residual']= residual
train['add'] = train['trend']+train['seasonal'+*train['residual']

结果如下,Count果然和三个加起来的数值是一样的。
前三行的trend是没有值的。这是因为以7为中心算移动平均的时候,中心点位置是第四行,前3行没有值也就可以理解了。

就写到这里。欢迎大家指导讨论!

【参考文献】
https://timeseriesreasoning.com/contents/time-series-decomposition/

来源:hongxu000

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