MATLAB基础教程(6)——使用matlab求解线性方程组

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今日任务:

一般方程:

方程组(目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况):

额外知识 

咦,咋跑题了

左除和右除

今日总结:


今日任务:

在数学中经常遇见的一个问题就是方程求解,特别是线性代数中,很经常遇见线性方程组的求解问题,今天就来用Matlab来探讨线性方程组的求解问题。

一般方程:

一般来讲,我们看到的方程都是这个样式的:ax = b,其中a、b都是常数,很显然,这时候 x 的解就是b/a。

也就是说,我们拿后面的值除以前面的系数,即可得到解X。

方程组(目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况):

刚刚我们讲的是一般方程,那推广到线性方程组,假设我们现在有个这样的方程:

\left\{\begin{matrix} 4x_{1} + x_{2} -2x_{3} = 1 \\2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2 \\3x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3 \end{matrix}\right.

相信大家运用高中知识也能很快的求出这个方程的答案,但是,如果四阶?五阶甚至更高呢?不如转换为矩阵的方法。

根据线性代数的知识,我们可以得到这样一个增广矩阵:

\begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & 1\\ 2 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}

那我们令系数矩阵是A,结果矩阵是B,这个解矩阵X该怎么算呢?

额外知识 

此部分提供给还未学过线性代数的同学看,如果知道基本知识可以先行跳过。

上面的矩阵方程可以视为这样的矩阵方程:\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}

其中,令X为未知数的矩阵,前面的三乘三的系数矩阵称为A,等号右边的结果矩阵称为B,方程组即可表述为:

AX = B,求X。

矩阵A的列数和矩阵X的行数相同时才可写成此种形式,因为当A的列数(这里是三列)等于X的行数(这里是三行)才能进行矩阵乘法运算。

矩阵乘法运算是这样的:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}*b_{1} + a_{12}*b_{2} \\ a_{21}*b_{1} + a_{22}*b_{2} \end{bmatrix}

易看出:如果A是 n 行 m 列,则X需要是 m 行 s 列才可相乘,且结果矩阵必是 n 行 s 列。

所以按照上面的运算法则,我们就可以看出,矩阵方程和原来的方程组是等价的。

咦,咋跑题了

我们已经得到了方程组对应的矩阵方程:\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix},那么编程的第一件事就应该是在程序里面表述这个方程组。下面看代码:

%% 方程组求解

clc;

clear;

A = [4 1 -2;

2 2 1;

3 1 -1];

% 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开

B = [1;

2;

3]; %定义矩阵B

disp(A);disp(B); %显示A和B

现在我们便可以在程序中得到两个矩阵,分别是A和B,定义的时候也可以不换行,但是换行定义看起来毕竟方便、易读。

运行代码就能看到我们定义的这两个矩阵:

同样,我们也可以在右边的工作区查看我们的这两个变量:

在这个工作区,我们看到的数据会更加的直观,就像图中这样:

 

现在,我们得到了两个矩阵,万事俱备,只欠东风,我们现在只需要一个除法即可得出这个解矩阵X。

现在在最后面加入这个代码:

X = A\B; % 左除

disp(X);

可能会有些人觉得奇怪,怎么A在左边并且这个写的是斜杠呢?

如果我们学习过矩阵便知道,矩阵的乘法是没法前后调换的,即 AB 不等于 BA,也就是说,AX = B,要求这个X,我们需要在两边的左边同时除以A(严谨说法叫做乘以A的逆矩阵),即 1/A * A *X = 1/A * B,也叫做左除,而在matlab中,左除符号就是这个“ \ ”符号,所以应这样使用,即 A \ B代表 1/A * B(严谨来说,就是A的逆矩阵*B),即可得到X。

运行后我们便可看到解矩阵的结果:

大家可以手动动手验证一下看看对不对哈哈哈。

左除和右除

上面讲的是左除,下面我们来说说右除,也就是在右边乘以1/A(严谨说法叫做A的逆矩阵),那么这个方程组应该是这样的:

XA = B

如果A和B不变的话,对应的矩阵应该是这样的:

\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}

然后根据乘法的运算法则,可以发现,这个方程是没法解的(因为根本就没法乘,前面矩阵1列,后面矩阵3行,不相等,没法进行乘法运算)

所以,如果进行这样的乘法运算,我们需要把X的解矩阵变换(注意,变换后乘出来的结果和之前的方程组不一样,不一样!):

\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 2& 3 \end{bmatrix}

那么根据运算律,我们可以得到现在的方程组是:

\left\{\begin{matrix} 4x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 1\\ x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2\\ 2x_{1} + x_{2} - x_{3} = 3 \end{matrix}\right.

注:不一定有解,毕竟是现改的。

那么这个X如何求呢?

根据原方程: XA = B,我们需要在等号两端的右边同时乘以 1/A(严谨来说是A的逆矩阵),即:

X * A * 1/A = B * 1/A(左右千万不能放错) ==> X = B*1/A

在代码中,右除是这样写的(注意代码改动,因为矩阵B变了):

%% 方程组求解,右除

clc;

clear;

A = [4 1 -2;

2 2 1;

3 1 -1];

% 定义一个3行3列的矩阵A,行与行之间使用分号隔开,每一行之间的元素使用空格隔开

B = [1 2 3]; %定义矩阵B

disp(A);disp(B); %显示A和B

X = B/A; % 右除

disp(X);

然后运行:

咦,居然有解!!!!

今日总结:

  1. 在matlab中定义矩阵。
  2. 线性代数矩阵乘法运算、求解知识。
  3. 关于矩阵乘法左除、右除的区别。
  4. 在matlab中求解两种矩阵方程的方法。
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