机械臂速成小指南(十二):逆运动学分析

👨‍🏫🥰🥳需要机械臂相关资源的同学可以在评论区中留言哦🤖😽🦄

指南目录📖:

🎉🎉机械臂速成小指南(零点五):机械臂相关资源🎉🎉

机械臂速成小指南(零):指南主要内容及分析方法

机械臂速成小指南(一):机械臂发展概况

机械臂速成小指南(二):机械臂的应用

机械臂速成小指南(三):机械臂的机械结构

机械臂速成小指南(四):机械臂关键部件之减速机

机械臂速成小指南(五):末端执行器

机械臂速成小指南(六):步进电机驱动器

机械臂速成小指南(七):机械臂位姿的描述方法

机械臂速成小指南(八):运动学建模(标准DH法)

机械臂速成小指南(九):正运动学分析

机械臂速成小指南(十):可达工作空间

机械臂速成小指南(十一):坐标系的标准命名

机械臂速成小指南(十二):逆运动学分析

机械臂速成小指南(十三):轨迹规划概述

机械臂速成小指南(十四):多项式插值轨迹规划

机械臂速成小指南(十五):线性规划

机械臂速成小指南(十六):带抛物线过渡的线性规划

机械臂速成小指南(十七):直线规划 

机械臂速成小指南(十八):圆弧规划

机械臂速成小指南(十九):机械臂的电路板抓取实验 

🦾🌏🪐以下为正文🦾🌏🪐

        在指南(九)中我们已得出关节变量与末端执行器位姿的函数关系,即正运动学方程。但在实际应用中,我们往往需要通过给定的末端执行器位姿来解算相应的关节变量,以此来确定各关节旋转角度,进而控制机械臂完成在空间中的运动。

一、绪论

1.机械臂逆解的个数

        串联机械臂的逆运动学问题的求解较之正运动学问题的复杂度更高。本文所研究的机械臂自由度为6,在逆运动学问题分析过程中需要对齐次变换矩阵 中的相互独立的6个非线性超越方程进行求解。该方程组含有6个未知量,其解的存在性以及解的个数由臂体运动学结构、目标点是否位于灵活工作空间中以及程序中对于关节的限制决定。当存在可行解的情况下,其个数通常不唯一,对于六自由度机械臂而言,最多可能存在16个不同的解,解得个数与DH参数中的aOiOi' 之间的距离)的关系如下表所示。

ai 逆解个数
a1=a3=a5=0 ≤4
a3=a5=0 ≤8
a3=0 ≤16
All ai≠0 ≤16

2.机械臂逆解类型

        对机械臂求逆解的方法分为两类:封闭解法与数值解法。由于数值解法是通过迭代求解的,因此速度较慢;封闭解法是以解析的方式求取逆解,分为几何法与代数法,得到的解称为解析解。

3.pieper判据

        显然,在对机械臂逆运动学求解前判断解的存在性具有重要意义。现今研究表明,所有串联型6自由度机械臂均是可解的,但这种解通常只能通过数值解法得到,计算难度大,复杂度高。因此,在确定逆运动学解法前,我们有必要探究机械臂逆运动学问题的解析解是否存在,Pieper判据是机器人领域常用的一种用于判断解析解存在性的判据。

        Pieper在其论文中指出:6自由度机械臂存在解析解的充分条件是相邻的三个关节旋转轴相交于一点。为满足这一条件并降低控制成本,市面上的大部分机械臂均依此设计,具有特定的结构,如带有球形腕的机械臂,如下图所示。

本文所使用机械臂的关节位置示意图

二、机械臂逆运动学求解方法

        下面以几何法介绍六自由度机械臂的逆运动学求解方法。

1.几何法求解原理

        以上图为例,位于关节5处的W点具有特殊性:是轴z_3z_4z_5 的交点,W 点的位置既可表示为一个末端执行器的位姿与机械臂DH参数d_6 的函数,也可表示为一个关节变量的函数。

        我们称W 点为腕关节,对应的坐标系称为腕部坐标系,当选择腕关节作为构建逆运动学方程组的依据时,逆运动学的方向解与位置解将被解耦,分为两个子问题,计算复杂度将显著降低。

第一步🏋️    描述腕部坐标系

        根据末端执行器当前位姿与关节5与关节6之间的齐次变换矩阵,可知,腕部坐标系的位置可表示为

第二步🏋️    求解θ_1

        如下图所示,关节变量θ_1 的取值由机械臂末端执行器在基坐标系Oxbybzb 的xbOyb 平面上的投影所在象限决定。

 则关节变量θ_1为(下标中罗马数字表示末端执行器所在x_y_b象限)

第三步🏋️    求解θ_2、θ_3

        机械臂的拟人臂部分中的关节3与球形腕部分直接相连,作用类似于人体的肩部,所以我们可以将关节3称为肩关节。

        我们按照腕部坐标系位置向量pW 在基坐标系xb 轴上的投影长度pX 与DH参数a1 的差值符号将机械臂的形态分为手腕前伸与手腕居中两种状态,对应于这两种状态的关节变量θ2θ3 需分别计算。

        当pXa1>0 时,机械臂处于手腕前伸状态,各连杆的几何关系如下图所示。

        其中,pa2H 为腕关节到J2的距离,pa3H 为腕关节到J3的距离,且a3 始终为0。

        利用勾股定理及余弦定理,可得到关节变量θ2θ3 的值为

        而当pXa1<0 时,机械臂处于手腕居中状态,各连杆的几何关系如下所示。

        此时,关节变量θ2θ3的值为

第四步🏋️    求解θ_4、θ_5、θ_6

        此时,我们已经得到了前三个关节的关节变量,因此拟人臂部分的齐次变换矩阵可以得到,而与机械臂末端执行器的齐次变换矩阵一同运算可得到球形腕的齐次变换矩阵,如下图所示。

        对于同一个目标点来说,在拟人臂部分的位姿确定后,球型腕部分可能的姿态有两种,如下图所示。

        就像我们伸手去够一个东西一样,我们既可以手肘向下地拿到它,也可以手肘向上地拿到它。

a b

        首先求取θ_5,当腕关节朝上时,即上图中(a)的情况,解得

         当腕关节朝下时为上图中(b)的情况,解得

        接着,求解θ4 。当θ5=θ5,Ⅰ时,解得

        当θ5=θ5,Ⅱ 时,解得

         最后,求解θ6。θ5=θ5,Ⅰ,且r23<0时,解得

        其余三种情况同样是根据θ5与r23的取值或符号决定,读者可自行推导。

三、机械臂逆运动学求解的编程实现

        机械臂的逆运动学方程运算同样由上位机完成,使用Python编写机械臂逆运动方程求解函数CalcRevKin (),共7个输入参数。

物联沃分享整理
物联沃-IOTWORD物联网 » 机械臂速成小指南(十二):逆运动学分析

发表评论