PSNR（Peak Signal to Noise Ratio），峰值信噪比，即峰值信号的能量与噪声的平均能量之比，通
常表示的时候取 log 变成分贝（dB），
由于 MSE 为真实图像与含噪图像之差的能量均值，
而两者的差即为噪声，因此 PSNR 即峰值信号能量与 MSE 之比。
定义式如下：

第二个等式由于图像像素点数值以量化方式保存，
bits 即每个像素点存储所占的位数。
因此 MaxValue 即为 2^bits – 1。

计算PSNR

def cal_psnr(im1, im2):
     mse = (np.abs(im1 - im2) ** 2).mean()
     psnr = 10 * np.log10(255 * 255 / mse)
     return psnr

灰度等级gray scale 存成 8bit ，故最大值255。

当时上面的评价指标有一个大的问题，那就是
由于基于差剖面的简单计算不符合人类视觉系统（Human Visual System，HVS）的评价结果，
因此需要对评价方式进行重新考量。

如果图片的最终目的是对人类展示的话，那么质量应该以人的主观测评为准。
但是由于主管评价不方便且费时，因此我们试图用客观的图像质量评价来对图像进行评价，使其接近 HVS 的特点。

由于 HVS 具有可以抓取图像的结构特征的特点，
因此设计（结构相似性） Structural Similarity 进行评价，即 SSIM 。

注意：PSNR和SSIM都是全参考的（full reference）的，也就是需要无噪声的真实图像作为参考依据。

SSIM：结构相似性

SSIM的基本思路是，通过以下三个方面来对两幅图像的相似性进行评估，即

1. luminance，亮度
2. contrast，对比度
3. structure，结构

其算法的框图基本如下：

算法细节流程：
（1）对于输入的x和y，首先计算出（亮度测量）luminance measurement，进行比对，得到第一个相似性有关的评价；
（2）再减去luminance的影响，img-l，计算（对比度测量）contrast measurement，比对，得到第二个评价；
（3）再用上一步的结果除掉对比度的影响，img-l/c再进行structure的比对。最后将结果combine，得到最终的评价结果。

亮度luminance用均值表征，以标准图像x为例，当然还有另外一张作为对比的图像y,公式是一样的，如下：

对比度contrast用经过均值归一化之后的方差表征，以标准图像x为例，当然还有另外一张作为对比的图像y,公式是一样的如下：

结构用相关系数（就是统计意义上的 r ，协方差与方差乘积的比值）
而相关系数r本来的公式如下：

在SSIM中：

而：

上面的计算我们在实际应用的时候一般不这样去逐像素计算，
一般采用高斯核函数（即高斯卷积）计算图像的均值、方差以及协方差，
而不是采用遍历像素点的方式，以换来更高的效率。

最终的结构相似性公式如下：

其中三个参数α，β，γ 用来表示这三个模块的重要性。

其中SSIM表示相似度，这个算子应当满足作为度量的基本性质，即

Symmetry，交换x和y顺序不影响结果。
Boundedness，值要有界，这里时小于等于1.。
Unique maximum，最大值，即1，只有当 x = y 时候取到。

为了得到简化形式，令

简化一波：

如何推导：

所以结构相似度指数从图像组成的角度将结构信息定义为：
独立于亮度、对比度的反映场景中物体结构的属性，
并将失真建模为亮度、对比度和结构三个不同因素的组合。
用均值作为亮度的估计，标准差作为对比度的估计，协方差作为结构相似程度的度量。

SSIM的实现

python的skimage库中实现了一些常见的评价指标如

from skimage.measure import compare_mse     #均方误差
from skimage.measure import compare_psnr    #峰值信噪比
from skimage.measure import compare_ssmi    #结构相似性